L’integrazione per parti è una tecnica fondamentale nel calcolo integrale utilizzata per risolvere integrali che coinvolgono il prodotto di due funzioni. Questa tecnica si basa sul teorema fondamentale del calcolo integrale e rappresenta uno strumento potente per semplificare e risolvere integrali complessi. In questo articolo, esploreremo dettagliatamente il concetto di integrazione per parti, le sue applicazioni pratiche e forniremo esempi per chiarire il suo utilizzo. integrazione per parti

Fondamenti dell’Integrazione per Parti
L’integrazione per parti si basa sull’equazione:

∫
𝑢
 
𝑑
𝑣
=
𝑢
𝑣
−
∫
𝑣
 
𝑑
𝑢
∫udv=uv−∫vdu

dove
𝑢
u e
𝑣
v sono funzioni di
𝑥
x, e
𝑑
𝑢
du e
𝑑
𝑣
dv sono le loro derivate rispetto a
𝑥
x, rispettivamente. Questa formula permette di trasformare un integrale complesso in un problema più semplice, riducendo la difficoltà computazionale. saperne di più

Derivazione e Teorema Fondamentale
Il teorema fondamentale dell’integrazione per parti deriva dalla regola del prodotto per le derivate e può essere dimostrato utilizzando il metodo della sostituzione. Se
𝑢
(
𝑥
)
u(x) e
𝑣
(
𝑥
)
v(x) sono funzioni derivabili, allora:

𝑑
𝑑
𝑥
[
𝑢
(
𝑥
)
𝑣
(
𝑥
)
]
=
𝑢
′
(
𝑥
)
𝑣
(
𝑥
)
+
𝑢
(
𝑥
)
𝑣
′
(
𝑥
)
dx
d
​
[u(x)v(x)]=u
′
(x)v(x)+u(x)v
′
(x)

Integrando entrambi i membri rispetto a
𝑥
x:

∫
𝑑
𝑑
𝑥
[
𝑢
(
𝑥
)
𝑣
(
𝑥
)
]
 
𝑑
𝑥
=
∫
𝑢
′
(
𝑥
)
𝑣
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
+
∫
𝑢
(
𝑥
)
𝑣
′
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
∫
dx
d
​
[u(x)v(x)]dx=∫u
′
(x)v(x)dx+∫u(x)v
′
(x)dx

che può essere riscritto come:

𝑢
(
𝑥
)
𝑣
(
𝑥
)
=
∫
𝑢
′
(
𝑥
)
𝑣
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
+
∫
𝑢
(
𝑥
)
𝑣
′
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
u(x)v(x)=∫u
′
(x)v(x)dx+∫u(x)v
′
(x)dx

Sottraendo
∫
𝑢
(
𝑥
)
𝑣
′
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
∫u(x)v
′
(x)dx da entrambi i lati, otteniamo l’integrazione per parti:

∫
𝑢
(
𝑥
)
𝑣
′
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
=
𝑢
(
𝑥
)
𝑣
(
𝑥
)
−
∫
𝑢
′
(
𝑥
)
𝑣
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
∫u(x)v
′
(x)dx=u(x)v(x)−∫u
′
(x)v(x)dx

Applicazioni dell’Integrazione per Parti
L’integrazione per parti trova applicazione in diversi contesti, tra cui:

Integrazione di Prodotti di Funzioni:
Utilizzando l’integrazione per parti, è possibile integrare espressioni che coinvolgono il prodotto di due funzioni che non sono facilmente integrabili senza questa tecnica.

Esempio:

∫
𝑥
cos
⁡
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
∫xcos(x)dx
Qui, si sceglie
𝑢
=
𝑥
u=x e
𝑑
𝑣
=
cos
⁡
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
dv=cos(x)dx. Si calcolano
𝑑
𝑢
=
𝑑
𝑥
du=dx e
𝑣
=
sin
⁡
(
𝑥
)
v=sin(x), quindi si applica la formula dell’integrazione per parti:

∫
𝑥
cos
⁡
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
=
𝑥
sin
⁡
(
𝑥
)
−
∫
sin
⁡
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
=
𝑥
sin
⁡
(
𝑥
)
+
cos
⁡
(
𝑥
)
+
𝐶
∫xcos(x)dx=xsin(x)−∫sin(x)dx=xsin(x)cos(x)C
Calcolo di Integrali Definiti:
L’integrazione per parti può essere utilizzata per calcolare integrali definiti, particolarmente utili quando si cerca di determinare l’area sotto una curva o risolvere problemi di fisica e ingegneria che richiedono il calcolo di quantità definite.

Esempio:

∫
0
𝜋
/
2
𝑥
sin
⁡
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
∫
0
π/2
​
xsin(x)dx
Applicando l’integrazione per parti e risolvendo l’integrale definito, si ottiene un valore numerico che rappresenta l’area sotto la curva
𝑥
sin
⁡
(
𝑥
)
xsin(x) nell’intervallo specificato.

Risoluzione di Equazioni Differenziali:
In alcuni casi, l’integrazione per parti è utilizzata per risolvere equazioni differenziali, specialmente quelle non omogenee, trasformando il problema in un integrale da risolvere.

Esempio:

∫
𝑒
𝑥
sin
⁡
(
𝑥
)
 
𝑑
𝑥
∫e
x
sin(x)dx